가톨릭 신앙생활 Q&A 코너

+ 찬미 예수님!

1. 들어가면서

이글에서는 인과 관계를 "이성적 추론(deductive reasoning)"으로 고찰할 때에 그 도구로서 사용되는 implication, 즉

"P => Q", "P implies Q"

[여기서 "P"와  "Q"는 참 혹은 거짓의 진리값을 가지는 문장들(statements), 즉, 명제(propositions)들임)]

에 대하여 말씀드리고자 합니다.

2. "P implies Q"를 정의하는(define) 표, 즉 진리표

다음은 "P implies Q"를 정의하는(define) 표(진리표, Truth Table)입니다.

     P     implies     Q
  -------------------------
     T        T        T
     T        F        F
    ---------------------
     F        T        T
     F        T        F

다음은, 위의 진리표의 의미를 올바로 이해하는 것을 도와드리기 위한 설명입니다.

2-1. 위의 진리표에서, 입력(input)은 P 로 표시하고 있고, 출력(output)/결과(effect)은 Q 로 표시하고 있으며, 그리고 => (즉, implication) 은 이들 입력과 출력 사이의 연결자(connective) 를 표시하고 있음에 우선적으로 주의하라. 그리고 T = true, F = false 를 표시하고 있다.

2-2. (경우 1) 입력(input) P가 참(true)일 때, 출력(output)/결과(effect) Q의 진위(true or false) 여부는 implication 의 진위 여부와 논리적으로 동치이다(logically equivalent).

2-3. (경우 2) 입력(input) P가 거짓(false)일 때, 출력(output)/결과(effect) Q의 진위(true or false)는, 설사 implication 이 참(true)이라고 하더라도, 출력(output)/결과(effect) Q 는 때로는 참(true)일 수도 있고 혹은(exclusive or) 거짓(false)일 수도 있음에, 반드시 주목하라.

2-4. (경우 2의 특별한 적용) 소위 말하는, "모순에 의한 증명(proof by contradiction)"은 위의 진리표에서 맨 아래에 있는 행(row)을 논증 과정에서 적용한 경우를 말한다.

즉, 어떤 명제(P)가 거짓(F)임을 증명하고자 할 때에, 우선 이 명제가 참(T)이라고 가정을 한 후에, 이 가정으로부터 유한 번의 이성적 추론(reasoning)을 수행하여 어떤 결과(Q)에 도달하였으나, 그러나 이 결과(Q)가 분명히 거짓(F)임을 우리가 이미 알고 있다면, 위의 진리표에서 implication 이 참(T)이고 그리고 Q 가 거짓(F)인 경우는 네 번째 행(row)의 경우뿐이므로, 따라서 우리는, "참(T)이라고 가정하였던 명제 P가 거짓일수 밖에 없다"는 결론을 도출하며, 이러한 방식의 증명을 두고서 "모순에 의한 증명"이라고 부른다. 

게시자 주 2-1: 위의 제1항과 제2항에 의하여 진행되는 증명(proof)에 대한 더 자세한 언급은

여기를 클릭하면 읽을 수 있는, <----- 필독 권유

"가톨릭 교회 교리서 제31항 및 연역적 사유 체계에 대하여" 제목의 글의 후반부에 있으니, 잘 읽어 보십시오. 

따라서, "이성적 추론"으로 불리는 논리적 추론 과정에 익숙해지는 것은, 가톨릭 보편 교회 교도권의 문헌들을 학습하고자 할 때에, 대단히 중요합니다.

게시자 주 2-2: 통상적으로, 위에서 말씀드린 "이성적 추론"에는 "연역적 추론"(deductive reasoning)과 "귀납적 추론"(inductive reasoning)이 있으며, 이들을 유한 번 적용함으로써 결론에 도달하고자 하는 것입니다.

그리고 사고의 진행 중에, 자신이 "언제" 귀납적 추론을 하여 어떤 결론을 도출하려고 하는지를 스스로 정확하게 인지하지 못하면, 소위 말하는 "논리적 비약"으로 불리는 오류를 범할 수도 있는 것입니다.
 
3. "귀납적 추론(inductive reasoning)" 혹은 "추상화(abstraction)"란?

"귀납적 추론"(inductive reasoning)의 가장 널이 알려진 예들은 수학의 정수론 분야에서 찾아볼 수 있는데, 소위 말하는, "수학적 귀납적 추론"(mathematical inductive reasoning)이라고 불리는 바입니다.

그리고 이 추론은, 추론 과정에 증명(proof)을 수행하는 과정이 포함되어 있으므로, 일반적인(즉, 증명(proof)을 수행하는 과정이 포함되어 있지 않은) "귀납적 추론"(inductive reasoning)의 결과와는 달리, "수학적 귀납적 추론"(mathematical inductive reasoning)의 결과로서 도출된 결론은 진리입니다.

그러나, 인간들이 유한 번 직접 경험하여, 그러나 아무런 증명 없이, 어떤 결론을 내리는, 즉, "수학적 귀납적 추론"(mathematical inductive reasoning)이 아닌 "귀납적 추론"(inductive reasoning)의, 즉, "추상화"(abstraction)의 결과는, 예를 들어, "천동설"과 "자연발생설"처럼, 거짓일(false) 수도 있음에, 따라서 오류(error)일 수도 있음에, 반드시 주목하십시오.



4.
임의의 x 에 대하여, 다음의 다섯 개의 명제(statements)들은 논리적으로 동치입니다(logically equivalent). 여기서 "~" 은 "부정(negation)"을 나타냅니다: 

(1) If A(x) then B(x).
(2) A(x) implies B(x).
(3) ~B(x) implies ~A(x).
(4) ~A(x) unless B(x).
(5) A(x) only if B(x).

따라서,

이들 다섯 개의 명제들을 우리말로 번역을 하였을 떄에도, 다섯 개의 번역문들 사이에, 번역 이전의 명제들 사이에 존재하였던 논리적 동치가, 그대로 유지되어야만 합니다.

그리고,

임의의 x 에 대하여, 다음의 번역문들은 논리적으로 동치임이 분명합니다:

(1)' A(x) 가 참이면 B(x) 는 참이다.
(2)' A(x) 는 B(x) 를 의미한다.
(3)' B(x) 가 참이 아님은 A(x) 가 참이 아님을 의미한다. (대우)
(4)' B(x) 가 참이 아니면 A(x) 가 참이 아니다.

그런데,

질문: 만약에 누군가가 위의 (5) 를 다음과 같이 우리말로 번역을 하였다면, 이 번역문은 위의 네 개의 번역문들과 논리적으로 동치일까요?

(F) B(x) 가 참일 경우에만 A(x) 는 참이다.

게시자 주: 우선, 이 번역문 (F)가 위에 나열된 다른 명제들과 논리적으로 동치가 아닙니다. 이에 대하여서는, 아래의 예 1을 보아주십시오.

정의에 의하여(by definition), 어떤 문장(a statement)이 명제(proposition)라 함은, 그 문장이 논리적으로 참이거나 혹은 참이 아님, 이들 둘 중의 하나가 분명한 문장을 말합니다. 

그러므로, 때로는 참일 수 있고 또 때로는 거짓일 수 있는 어떤 문장은 "명제"라고 불리지 않습니다.

예를 들어, "호박꽃은 아름답다" 라는 문장은 명제가 아닙니다. 왜냐하면, 관찰자의 자의적/개인적 판단/기분에 따라 혹은 관찰 시기 등에 따라, 호박꽃이 바로 그 관찰자에게 아름다운 꽃일 수도 있고 또 그렇지 않을 수도 있기 때문입니다.

답변: 위의 (F) 항은 위의 네 개의 우리말 번역문 중의 어느 한 개와 논리적 동치가 아닙니다. 그리고 논리적으로 하자가 없고 그리고 위의 네 개의 번역문들 각각과 논리적으로 동치인 우리말 번역문은 다음과 같습니다:

(5)' B(x) 가 참일 경우에만 A(x) 는 참일 수 있다.

----------

게시자 주: 혹시라도, 위의 (5)의 우리말 번역문인 (5)' 에 왜 "일 수 있다" 혹은 "가능할 수 있다" 가 명기되어야만 하는지 궁금하신 분들은 다음의 두 개의 예(examples)들을 잘 읽어보시기 바랍니다.

예(example) 1: 다음과 같이 선택합니다:

T 를 "어떤 특정 대학교" 라고 합시다. 그리고 다음과 같이 선택합니다:

P(x) = T 를 졸업하는 자.
Q(x) = T 에 입학하는 자.

그러면 분명히, 위의 (1)', (2)', (3)', (4)' 는 논리적으로 동치인 명제들입니다:

그러나,

(F) T 에 입학하는 자들만이 T 를 졸업한다.

라는 문장과

(5)' T 에 입학하는 자들만이 T 를 졸업할 수 있다.

라는 문장은 결코 논리적으로 동치가 아닙니다.

왜냐하면, T 에 입학하는 자들로서 졸업을 위한 최소한도의 요건/자격을 만족한다고 하더라도, 해당 학과의 졸업 사정 심의를 통과하여야 하기 때문에, T 에 입학한 자들 모두가 T 를 졸업하는 것은 아니기 때문입니다. 그리고 입학자들 중에는 휴학한 후에 복학하지 않는 자들도 있을 수 있고, 또 제적을 당하는 자들도 있을 수 있기 때문입니다. 그리고 논리적으로 이러한 경우들을 다 만족하는 문장은 (5)' 이지 결코 (F) 가 아닙니다.

여기서 유념하여야 하는 것은, 입학과 졸업 각각, 입학 혹은 졸업 당사자의 의지와는 무관한, 해당 대학교의 심의/인정/허가 과정을 거친다는 점입니다.

즉, 스스로 생각/판단할 때에 아무리 능력이 뛰어나거나 혹은 공부를 잘 한다고 하더라도, 그러나 그러한 자신의 생각/판단과는 전적으로 무관하게, 입학 혹은 졸업의 당사자와는 무관한 대학교측의 심의/인정/허가 과정을 통과하여야만, 입학도 될 수 있고 또 졸업도 될 수 있다는 점입니다.

달리 말하여,

어떤 원인으로부터 어떤 결과에 도달함의 성립 여부에 대하여 고찰할 때에, 즉,

어떤 두 개의 현상/개념들 사이에 인과[원인과 결과(cause and effect)] 관계의 성립 여부에 대하여 고찰할 때에,

기본적으로,

관찰자인 당사자(나)의 희망/의지/존재와는 전적으로 무관한,

타인(너)에 의한 심의/인정/허가 과정이 개입되어 있는지 혹은 그렇지 않는지의 여부에 대하여

관찰자인 당사자(나)는 우선적으로 인지/파악하여야 할 것입니다.
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예(example) 2: